1. Forum
  2. Blandet
  3. Over hækken

Kan det betale sig at skifte valg?

Her er lidt til de grå celler....

Forestil dig at du deltager i en TV-quiz.

Du ser 3 døre, A-B og C foran dig og får at vide, at bag den ene dør ligger der en million til dig - hvis du kan vælge den rigtige dør.
Studieværten ved selvfølgelig bag hvilken dør pengene gemmer sig.

Du får nu lov at vælge dør - og alle ser hvilken dør du vælger. Lad os sige du vælger dør A.

Nu går studieværten hen og åbner én af de to andre døre, eksempelvis dør B - og alle kan se, at der er pengene ikke.

Nu siger værten så:
"Du valgte dør A for lidt siden - er du sikker på dit valg?? - jeg giver dig nu mulighed for at ændre dit valg til dør C i stedet for A"
 
Fastholder du dør A eller skifter du til C?
Med andre ord - kan det betale sig for dig at ændre dit oprindelige valg?

Hvad gør du - og mere vigtigt, hvorfor?

"Dygtighed er ikke en dobbelt dosis af den almindelige evne til at lave noget halvgodt."

Her er lidt til de grå celler.... Forestil dig... Vis hele indlægget
41 svar
 Følg tråden
Der er 20 indlæg før dette.
Annonce
Annonce
Annonce
Lidt hjælp til de frustrerede der stadig funderer over de 3 døre. (hvis der er flere der stadig tænker) 

Prøve at tænke over hvad værten egentlig gør, ved at åbne dør B - der som sagt selvfølgelig en værdiløs dør.
Han fjerner alle værdiløse døre undtagen én fra quizzen - således at der kun er én værdiløs dør tilbage plus den med millionen. Den ene af disse 2 tilbageblevne døre er selvfølgelig dit oprindelige valg.

Det hjælper måske ikke stort i første omgang - men prøv så at bruge samme argument, hvis der var 100 døre til at begynde med og ikke kun 3.

Han ville jo så åbne 98 værdiløse døre (alle undtagen en), således at der igen kun er én værdiløs dør tilbage - plus den med millionen.
Nu er det måske lettere at afgøre om det kan betale sig at skifte - eller hvad??
 

"Dygtighed er ikke en dobbelt dosis af den almindelige evne til at lave noget halvgodt."

Han skal selvf. vælge c.. der er den største mulighed.. !! Men sikkert er det jo stadig ikke. Men muligheden er størst ved c !!

Mvh Jan J
Skrevet af helja den 07-12-2008 12:29
Han skal selvf. vælge c.. der er den største mulighed.. !! Men sikkert er det jo stadig ikke. Men muligheden er størst ved c !!

Mvh Jan J

Som Jan siger - men uden begrundelse, jo - man skal skifte fra det oprindelige valg af dør A til dør C. Det giver dobbelt så gode chancer for at vinde.
Her er forklaringen:

Forudsætninger:
Valget af dør A repræsenterer 1/3 vinderchance.
Dør B og C repræsenterer således 2/3 vinderchance tilsammen.

Chancer:
Værten udelukker dør B som "vinder" ved at åbne den - og derved kommer dør C til at repræsentere de 2/3 vinderchance alene.
Dør A beholder sin 1/3 chance som den oprindelig havde.
Derfor fordobles vinderchancerne ved at skifte valget fra dør A til dør C.  

Svær at sluge:
Forklaringen kan være lidt svært at sluge - at der kan være forskel, når man til sidst kun har 2 døre at vælge mellem. Her vil man umiddelbart tænke - aha, så er det 50/50.
Men det er det altså ikke - netop fordi man allerede har valgt den ene af de to døre, da den kun var 1/3 chance værd.

Alternativ forklaring: 
Det bliver lidt lettere at se, hvis man som nævnt forestillede sig, at der var 100 døre til at begynde med.
Man bliver så bedt om at vælge en dør - lad os sige dør nr. 10, og har dermed 1/100 chance for at vinde.
Nu åber værten så 98 værdiløse døre (alle værdiløse undtagen en) således der kun er to døre tilbage - dør nr. 10 plus for eksempel dør nr.70 - og spørger så om man vil skifte valget (fra nr.10 til 70).

Nu kan man spørge sig selv - Hvorfor skulle valget af dør 10 pludselig blive forbedret fra 1/100 til 1/2 fordi man åbner nogle døre - eller nogen blandt publikum skal ud at tisse for den sags skyld? Begge dele er sagen uvedkommende.
Men det der er vigtigt er, at dør 70 nu repræsenterer 99/100 vinderchance - og dør 10 altså stadig kun 1/100.

Jeg ville skifte mit valg til dør 70 hurtigst muligt.

"Dygtighed er ikke en dobbelt dosis af den almindelige evne til at lave noget halvgodt."

Jamen, det vil du kun gøre fordi du IKKE har læst statistik. Dette er en ganske elemæntær statistisk "gåde". Pointen er at der ER faktisk stadig kun 50% chance. Fordi der ER faktisk stadig kun to døre. Sammenlign det med at du ISTEDET for at få lov til at vælge "om", så bliver stillet overfor to HELT nye døre. For det GØR du faktisk, i og med at de historiske valg ikke har nogen forbindelse til de fremtidige. Du kan jo ikke se ind i fremtiden, for ellers ville du jo benytte denne mulighed til at vælge den rigtige dør med det samme, og derfor ikke have behov for at vælge om.
De to valg er 100% uafhængige af hinadnen, og af hvad andre siger eller gør. Dermed er det 100% ligegyldigt om du skifter dør.

En tilsvarende "gåde" er at det må jo være HELT umuligt for dig at gå 10 meter. Fordi først skal du jo gå halvdelen. Når du så har gjort det skal du gå halvdelen af det er tilbage, og så halvdelen igen. Så bliver du aldrig færdig.

Forudsætningen her er den samme, men fejlen er nemmere at forstå fordi de fleste mennesker har en god fornemmelse for konceptet "tid", hvorimod "statistik" er et mindre omgængeligt enme. Forudsætningen er nemlig at tidligere valg har indflydelse på fremtidige valg, og det HAR de ikke. Tilsvarende kan du ikke sige at der er større eller mindre chance for at en terning viser en 6'er bare fordi den lige har gjort det. Den FREMTIDIGE sandsynlighed er den samme uanset hvor mange 6'ere i træk terningen lige HAR slået. Det samme gør sig naturligvis gældende for dine døre, sandsynligheden ændrer sig ikke bare fordi den HAR været anderledes.
Annonce
Du tager fejl Twist.
Du har dog ret i at jeg ikke har læst statistik - men har et rimeligt kendskab til kombinatorisk logik hvilket er en mere dækkende betegnelse for opgaver af denne art.
Statistik er (som ordet siger) beregnet på statiske forhold og tal, men her sker der jo noget "dynamisk" under forløbet der ændrer forudsætningerne. Det der repræsenterede hvad du IKKE valgte i første omgang skifter fra flere elementer (2 eller 98) til kun EN mulighed der så "arver" repræsentationen fra alle andre IKKE valgte elementer.

Hvis du stadig ikke er overbevist, så prøv med 3 tændstikæsker hjemme på køkkenbordet - kør legen igennem 50 gange hvor du fastholder dit oprindelige valg, og 50 gange hvor du skifter.
Lav statistik over resultatet. Du vil blive forbavset hvor præcist du rammer gevinst i 2/3 af de tilfælde hvor du skifter valg.


"Dygtighed er ikke en dobbelt dosis af den almindelige evne til at lave noget halvgodt."

Man kan også anskue det på følgende måde... (jeg ved der skal flere "slags" forklaringer til)

Dit første valg giver dig 1/3 chance for at vinde - det er alle vist enige om.

HVIS man vælger at skifte sit valg, så vil den ENESTE mulighed for at man IKKE vinder være, at man valgte døren med millionen i det første valg - og det er der jo altså kun 1/3 chance for at man gjorde.
Med andre ord - Der er således kun 1/3 chance for at man ikke vinder, hvis man skifter sit valg.

"Dygtighed er ikke en dobbelt dosis af den almindelige evne til at lave noget halvgodt."

Men igen er din forudsætning falsk. Fordi der ER faktisk ikke nogen hukommelse. Der kan jo lige så godt være blevet byttet om på indholdet bag døren, netop fordi døren ved IKKE om der er gevinst bag ved den. Og hvordan skal jeg kunne vide at den af de tre tændstikker jeg fjerner faktisk IKKE har en gevinst ? Først når du VED dette vil der være tale om at du har ret, men så er forudsætningerne allerede fra STARTEN forkerte, for så ville du jo slet ikke vælge den dør, og dermed er du tilbage på 50-50. Du kan derfor kun fastsætte den forudsætning såfremt du har viden om indholdet bag dørene.

For at sammenligne resultatet med virkeligheden skal du faktisk gøre det at du tager tre tændstikæsker, og skriver hhv 1, 2 og 3 på bagsiden af dem. Vende dem om, vælg en æske. Fjern nu EN af de æsker du IKKE valgte, uden at kigge på bagsiden. Og fortæl mig så i hvor mange tilfælde du får æske nummer 1 ved at skifte dit valg, kontra ved ikke at gøre det. Det er 100% identisk (eller ihvertfald en statistisk ubetydende forskel)

Prøv så bagefter at fjerne æske #3 fra spillet, og vælg tilfældigt....

Sjovt nok får du 1/3 i første tilfælde og 1/2 i andet tilfælde fordi det er antallet af æsker du starter med.


Du kan sammenligne det med en radioquiz. Der er tre svarmuligheder. Lytter nummer 1 ringer ind og vælger svar #3. Det er forkert. Du VED derfor at svar nummer 1 eller 2 er rigtigt. Men svaret ændrer sig IKKE. Det bliver ikke mere eller mindre rigtigt uanset at andre tidligere har svaret forkert, og uanset om du selv troede at svar #1 eller #3 var det rigtige. Du bliver bare mere OPLYST, og dermed har du NYE forudsætninger for at kunne danne et bedre valg end den tidligere deltager. Du har ikke de SAMME forudsætninger, og dermed følger den statistike sandsynlighed heller ikke med. Den "ekstra" trediedel du får, får du jo kun fordi du allerede fra starten IKKE har valgt den svarmulighed der bliver fravalgt senere. Gætter du som den første, så vil dette jo faktisk være tilfældet i de ekstra 1/3 der mangler i dit regnestykke.
I dit eksempel, så kan du forestille dig at studie værten åbner en tilfældig dør og SÅ spørger dig om du vil vælge om, uanset om der er gevinst bag døren og eller om han åbner den dør du allerede HAR valgt. Der er således 2/3 chance for at han ikke vil vælge samme dør som dig, og ligeledes 2/3 chance for at døren han valgte ikke har gevinsten bag sig. Dermed er der 1/3 chance for at han vil vise dig den dør der er gevinst bagved, og 1/3 chance for at han vil vælge samme dør som dig. Vælger han din dør, og der ER gevinst bagved, skal der så efter din overbevisning være STØRRE chance for at jeg får gevinsten ved at vælge om ? Ligeledes, hvis han viser mig indholdet bag en anden dør, og gevinsten er her, så skal jeg alligevel vælge den sidste dør, istedet for døren med gevinsten ?

Der er en årsag til at folk tror de kan vinde (og aldrig gør det) når der står en smart gut på strøget med tre kort og beder dig om at finde et es..... Selv hvis manden IKKE snyder, så ændrer den statistike sandsynlighed sig ikke.

Så nej. Med mindre du har viden om hvad der er bag dørene, så vil forudsætningen aldrig kunne opflydes, og har du denne viden, vil du aldrig kunne vælge upartisk. Det er dermed ligegyldigt om du vælger om.

Nej Twist - du forudsætter regler der aldrig har været på banen og opfinder andre quiz med nye regler - og du "fjerner" ikke en dør (eller tændstik) - den bliver åbnet så alle kan se at den er værdiløs.

Uanset hvad - så vil du stå med 2 døre til sidst - den ene med gevinsten, og den anden værdiløs.
Forskellen er, at hvis du fastholder dit oprindelige valg bliver din chance ALDRIG mere end 1/3 og dermed er du 2/3 sikker på at tabe...

Men lad os afprøve de to strategier i den virkelige verden: 

Vi leger at millionen er bag dør A og forsøger os med de to strategier.

A_________________B___________________C
Millionen
er HER.

Strategi 1 = hvor du fastholder det første valg:

Du vælger A, værten åbner B eller C, hvilket er ligegyldigt. Du fastholder A og vinder.
Du vælger B, værten åbner C. Du fastholder B og taber.
Du vælger C, værten åbner B. Du fastholder C og taber.

Ergo, du vinder 1 gang ud af 3 og taber 2 gange ud af 3 med denne strategi.


Strategi 2 = hvor du skifter det første valg:

Du vælger A, værten åbner B eller C, hvilket er ligegyldigt. Du skifter valg til døren han ikke åbnede. Du taber.
Du vælger B, værten åbner C. Du skifter til A og vinder.
Du vælger C, værten åbner B. Du skifter til A og vinder.

Ergo, du vinder 2 gange ud af 3 og taber 1 gang ud af 3 med denne strategi.


Konklusion - Strategi 2, skiftestrategien, giver dobbelt så gode vinderchancer.

Kan jeg gøre det tydligere?

"Dygtighed er ikke en dobbelt dosis af den almindelige evne til at lave noget halvgodt."

Buch nu er det godt nok nogen år siden jeg gik til matematik i skolen, men er det ikke sådan at alle udfald skal beskrives? Jeg forstå derfor ikke hvordan du kan slå to udfald sammen til et.

Hvis vi fastholder din model (gevinst bag A) er det derfor min påstand, at der er fire mulige udfald ved begge strategier, således:

Fastholdelsesstrategien:
Valg af A, B åbnes, fasthold A:   vind
Valg af A, C åbnes, fasthold A:   vind
Valg af B, C åbnes, fasthold B:   tab
Valg af C, B åbnes, fasthold C:   tab

Skifte strategi:
Valg af A, B åbnes, skift til C:   tab
Valg af A, C åbnes, skift til B:   tab
Valg af B, C åbnes, skift til A:   vind
Valg af C, B åbnes, skift til A:   vind

hvis ovenstående er korrekt så lander vi vel omkring 50% sandsynlighed for at vinde uanset strategi.
Hvis man anvender din verison, hvor nogen udfald må slås sammen, så ser situationen selvfølgelig anderledes ud. Men jeg kan ikke huske, at der er i sandsynlighedsregning er regler for at man må udelade udfald eller inkludere dem i andre.

Der er yderligere 11 indlæg i tråden.
 Følg tråden
Vil du være med? Log ind for at svare.

Relaterede emner

Tilmeld dig og få fordele


Deltag i forummet, stil spørgsmål og svar andre

Favoritmarkér spændende indlæg

Færre reklamer, når du er logget ind
...og meget mere



Tilmeld dig gratis